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Superfície Costa (impressão 3D com filamento)

Descrição

Princípios baseados na minimização de alguma quantidade são ubíquos na física. Raios de luz que atravessam diferentes meios o fazem de forma a minimizar o tempo de percurso, o que é conhecido como princípio de Fermat, cuja consequência direta é a lei de Snell. Esses princípios de minimização (ou, mais precisamente, de extremização) também descrevem a trajetória de partículas e até mesmo as próprias leis da natureza às quais todos os sistemas físicos estão sujeitos. Um exemplo fundamental que explora estes aspectos na interseção entre física e matemática diz respeito às películas de sabão. A energia de uma película de sabão em equilíbrio é proporcional à sua área de superfície. Neste contexto, a tendência natural de minimizar a energia implica na minimização da área. Assim, dada uma fronteira fixa (o contorno de arame que sustenta a película), a superfície formada minimiza sua área. Dizemos, portanto, que essas superfícies são mínimas.
Figura 1: Superfície mínima formada por uma película de sabão.

Figura 1: Superfície mínima formada por uma película de sabão.

Fonte: Development of bamboo structures based on minimal surfaces and natural formations, 2013 IASS Simposium, 2013.

O estudo de superfícies mínimas iniciou-se no século XVIII com Joseph-Louis Lagrange e Leonhard Euler, que estabeleceram as bases teóricas do cálculo variacional, disciplina dedicada a problemas desse tipo. A primeira superfície mínima não trivial conhecida foi a catenoide, descrita em 1744 por Euler. A segunda superfície não trivial encontrada, o helicoide, foi descrita por Euler em 1774 e independentemente redescoberta por Jean Baptiste Meusnier em 1776.
Figura 2: Catenoide e helicoide formados por películas de sabão.

Figura 2: Catenoide e helicoide formados por películas de sabão.

Fonte: Math Duo Maps the Infinite Terrain of Minimal Surfaces, Quanta Magazine, 2019 & https://chessapig.github.io/craft/minimal-surfaces (Adaptado).

O estudo destas superfícies avançou no século XIX com o físico e matemático belga Joseph Plateau, que conduziu experimentos sistemáticos com películas de sabão. Apesar disso, somente 208 anos após a descrição das duas superfícies mínimas apresentadas por Euler uma terceira superfície mínima não trivial foi descoberta: a superfície Costa, descrita pela primeira vez em 1982 pelo matemático brasileiro Celso José da Costa. Até então, acreditava-se que os únicos exemplos não triviais em três dimensões eram a catenoide e o helicoide. A superfície de Costa não apenas mostrou que esta suposição estava incorreta, como também forneceu o primeiro exemplo de superfície mínima com topologia não trivial, por apresentar “buracos”. A descoberta da superfície de Costa desencadeou uma nova fase na teoria das superfícies mínimas, motivando a construção de diversos outros exemplos.

Figura 3: Na foto, o matemático Celso José da Costa Figura 3: Na foto, o matemático Celso José da Costa